丘成桐谈AI数学突破：准黎曼猜想与希尔伯特第16问题引震撼

格罗滕迪克曾拿坚果打比方讲数学研究：一种路子是抡锤子、使凿子猛砸硬壳，硬碰硬解决具体难题；另一种是把坚果泡进水里，搭起汪洋一般的理论体系，让硬壳自己松脱。几百年下来，这两条路都只归人类心智所有。

现在，前一条路正被 AI 以快得出乎预料的速度接过去。工具强大了，人的视野跟着拓宽，可一些老手艺也在悄悄退场。通往真理的中间路程被机器大幅压短，先拿到 100% 的答案、再回头补理解，这会是今后科学跃迁的常态，还是让年轻人不知不觉成了算法的附庸？

日前“丘成桐数学与人工智能实验室联盟”成立仪式上设了一场圆桌论坛，菲尔兹奖得主丘成桐、中国科学院院士席南华、中国工程院外籍院士罗智泉、数学物理学家尼古拉·莱舍提金（Nicolai Reshetikhin）就这些问题聊了各自看法。论坛由清华大学丘成桐数学科学中心副教授徐文强主持。

本文依据现场英文录音翻译整理，为方便阅读做过适当编辑和删减。

翻译整理 | 周舒义

一

哪些AI成果令人震撼？

徐文强：OpenAI 前不久公布了数百篇论文，称解决了一批重要数学难题。这些成果里，哪一项最让您震撼或意外？

丘成桐：好几项由 AI 推进或解决的问题都让人印象深刻。当然，这些成果不是 AI 单独做出来的，数学家也参与其中。最突出的一项出在准黎曼猜想（Quasi-Riemann Hypothesis）上：它推进无零点区域边界的幅度非常惊人。就我所知，过去五十年里大多数数学家都没想过能有这么大的推进。而且那份证明不算长，我希望有人仔细核查。

还有一项让我震惊，是希尔伯特第16问题（Hilbert's 16th problem）的进展：平面上的多项式向量场，极限环数目是否有限？若有限，能不能给出只与多项式次数有关的上限？前者已经证出来了，后者长期悬着。我读高中时就对它着迷。这个问题难住了无数人，好几次有人宣布搞定，过后又发现其实没有。我记得当年连二次多项式的情形都没弄明白，不少人都说，能把二次情形搞清楚就已经很了不起了。如今 AI 声称证明了极限环数目一致有界性这个弱化形式，就算还没验证，对我来说也是极大的震撼。

在我自己的领域里，AI 也解决了一些我提出后搁了四五十年的问题。这些问题不简单，而且非常优美。比如拉普拉斯特征函数零点集（nodal set）的豪斯多夫测度（Hausdorff measure）问题。零点集，就是特征函数取值为零的那些点。我当年的猜想是：零点集的豪斯多夫测度与特征值的平方根同量级。实解析情形下这个猜想已经证出来了，一般光滑情形仍是难题。让我惊讶的是，

徐文强：我顺着补几句。我自己的研究方向跟准黎曼猜想关系更近一些。他们公布了三篇论文，其中至少两篇结果非常强，篇幅也偏长，大概 30 到 40 页。看上去里面有一些很新的想法，也引了不少非常前沿的文献，让人觉得结论很可能是对的。

第三篇论文则很有意思，讲的是排除“朗道—西格尔零点”（Landau-Siegel zero）存在性。朗道—西格尔零点不存在，是许多数学家长期想证明的一个重大猜想，可这篇论文居然只有 8 页！我还不能完全确信它成立，但看起来颇为合理，方法似乎也跟传统思路完全不同。

席南华：很遗憾，我研究的具体领域里，眼下还没看到 AI 做出什么重大进展，所以我目前感觉还挺安全。（笑）

AI 在数学上的进展确实让人印象深刻，但对我个人来说，我并不惊叹。我一直在想另一个问题：假如回到 19 世纪，还没有实数理论、还没有戴德金（Dedekind）实数理论的时候，AI 能不能创立出这样一套理论？再比如，把五次方程交给 AI，它究竟会给我们造出伽罗瓦理论（Galois theory），还是只会去试着解这个方程？

到现在为止，我还没看到 AI 做出像丘先生解决卡拉比猜想（Calabi conjecture）那样的工作。眼下 AI 能成批产出定理和证明，那人该做什么？什么才是最重要的？我认为，从具体问题里提炼、搭出一套好理论——就像从解方程里生出伽罗瓦理论——以及引入重要的数学概念，这些或许还得由人类来做，繁重的推演劳动可以交给 AI。既然连“智能”本身（至少其中一部分）如今都能由 AI 完成，数学家的价值到底是什么？这需要一个新定义。

罗智泉：在应用数学这一头，我还没看到特别重大的 AI 成果。部分原因是目前的 AI 工具主要盯着那些已经被清楚表述的问题。可应用数学里，能不能提出一个好问题恰恰决定成败。面对一个工程或实际应用问题，你先得抓住它的本质，用数学语言准确描述出来，再挑合适的求解器，找到好方案，最后拿其他数据验证结果。现在也有人试着让 AI 跑完这一整套，但远不如解决数学猜想那样成熟，成果也没那么多。这项技能目前的 AI 工具还不具备。

不过，我看到这一天正在到来。比如把物理和数学融到一起，既要吃透物理，也要吃透数学，还得有本事把问题用好的数学语言描述出来，甚至提炼出猜想本身。这要靠另一套本领，AI 目前还做不到。

二

直觉的危机：AI让技能断代？

徐文强：提出好问题，也许比解决具体技术问题更难，也更要紧。可要提出好问题，数学家首先得有直觉，而这种直觉恰恰是从大量亲手计算、反复试错里长出来的。这些活都交给 AI，我们又该怎么建立数学直觉？

丘成桐：你说得很对。过去像欧拉、高斯那样的大数学家，都是亲手做海量计算的，关于数及其分布的必要直觉，就是在计算过程中建立起来的。如果完全依赖 AI、不去审视细节，这种洞察与直觉恐怕就会丢掉。

当然，这并非没有补救办法——仔细观察AI产出的大量数据，同样能养出直觉。拿素数来说，要算到几万亿的量级，手算已经不现实，但可以交给AI生成数据，自己再去猜其中的规律，反复看、反复试，直觉大概就慢慢有了。要紧的是真动手、常盯着这些数据看，别拿到答案就扔到一边。眼下组合数学、量子场论、代数几何乃至几何学里，都能算出大量有意思的数值，图形、数值以及它们组合学上的推论，都得仔细看，直觉才立得起来。

这一步偷不得懒，不能想“AI都替我干完了，我不用管了”。流体力学有过教训：五十多年前我还是学生，那时人们还在做渐近分析（asymptotic analysis）；计算流体力学（CFD）一出来，多数人只管让计算机跑程序，拿到结果就满意了，经典分析的方法不再受重视。

照我看，整个学科其实因此走偏了一些。两头都不能偏废：机器生成的海量数据要细看，自己也还得动手算一些。

莱舍提金：有一本数学期刊就叫《实验数学》（Experimental Mathematics）。我给这本期刊投过稿的同行里，不少人的论文包含大量计算机算出来的结果，完全可以看作“数学实验”。AI眼下正是干这件事的绝佳工具，它让这一切容易多了。比如我自己编程并不太行，可现在这事变得极其简单：告诉AI你想做什么，让它写程序，然后运行，甚至直接让它替你跑。这么一来，能参与数学实验的人就更多了。

当然，有些技能确实会流失——计算器普及以后，很少有人还手算长除法，传统技能就这么流失了，但这不等于我们在倒退。正如丘教授所说，流体力学里一些渐近分析的技艺虽然流失，却被极其强大的计算工具取代；有了AI之后，渐近分析还有望借这些新工具重新回来。说到底，只要你愿意通过实验去理解数学、物理或工程现象，AI就是一件伟大的实验工具。

席南华：直觉对数学当然至关重要，它实际上与洞察、理解紧密相连，而这依赖于充分的实践。可今天该怎么实践数学？这需要探索，不同的人或许有不同的方式。况且今天获取直觉的来源不限于数学内部，也可以来自其他学科分支。

举个例子，今天我们或许能提出一些以前根本提不出来的问题。比如看一幅画，人往往能直觉地判断它美不美。现在一幅画可以被数字化，用一个巨大的矩阵来表示。那么，一幅画为什么让人觉得美？这种美能不能用矩阵的某些特征来描述？如果就此发展出一套理论，那既是数学上的进展，同时又通向艺术等领域。所以，直觉、理解和洞察力始终是最重要的，只是今天获得它们的途径和方式可能已经不同了。

罗智泉：想练出提问的本事和直觉，过去走的是“师徒制”这条路——跟着一位导师，慢慢摸清做研究的门道；后来又有小组学习、讨论班，大家互相碰撞着学。眼下还多了一个AI这样的强力研究伙伴。有了AI，学会提好问题这件事能快不少。并且你可以私下问它，问多蠢的问题都行！不少人当着人面怕丢脸，不敢开口，可一对一对着AI就没这个顾虑了，它一天24小时、一周7天随时都回应你。所以我的看法是，AI能帮我们更快地养成批判性思维，学会提出好问题。这当然是好事。

我自己也常用AI。AI确实会给出“思维链”，可往往太长，读着累。人和人交流就不一样，常常是蹦出几点思想火花，你稍一琢磨，思路一转，再做调整。所以跟AI模型互动，和跟其他学者讨论，我认为差别很大。

对我个人来说，要能找到一位出色的同行一起做研究，我当然更乐意跟他合作。我觉得那样学到的东西更多。现在的AI模型常常一下子倒出太多信息，超出你能消化的量——当然，将来AI模型也许能在这上面做出调整。说到底，学新知识和探索研究前沿是两码事，需要的帮助也不一样。眼下的AI还不够聪明，分不清你是在学习，还是在做前沿研究。不过总的来讲，我用AI的体验还是很好的。它经常胡说八道，给一堆垃圾信息，你得保持警惕，但它确实让我学得快了很多。而且在我看来，它会带来改变：未来，这种培养博士生的传统“师徒制”模式将会消失。

三

先理解，还是先知道？

徐文强：接着这个话题，可以谈谈学生怎么用AI做研究。不管是本科生还是博士生，各位希望自己的学生用AI吗？对正处在学术生涯起步阶段的年轻学生，关于如何正确使用AI，您心里最重要的一点是什么？

丘成桐：对我而言，探寻宇宙的真理是高于一切的头等大事。只要能找到真正的真理，黑猫白猫都无所谓，拿到结果最关键。拿到之后，我们再来讨论这个结果为什么成立、哪些思想起了关键作用——那是另一个该学习的过程。一旦你弄清了什么是真、什么是假，理解它、消化它自然有许多别的途径。但最核心的事实，是先知道这个真理。

基于这一点，我知道有不少人想劝学生别用AI，我其实并不赞成。这是我们探索宇宙真理的新工具，尽管用就是了。但同时，你必须诚实地面对自己：对你发现的东西，你到底理解了多少？要是对自己发现的结果并不理解，那它对你个人当然毫无用处，对别人却是有用的。（笑声）所以这仍然算一项贡献，只是对你个人来说没那么重要，你个人的学术功劳恐怕要大打折扣了。

换句话说，就算你把黎曼猜想的证明找出来了，可你自己并不理解它，那就要看你在这件事上投入了多少：只投入了一点点，或许还能配一个博士学位；要是压根没投入，那博士学位大概就跟你无缘了。不过话说回来，一个人完全没有任何投入，却靠AI把黎曼猜想的证明找出来，这很难想象。所以我信这一点：不管用没用AI，只要你找到的是真正的真理，你一定在里面下了某种功夫。这种功夫，可能比不少博士在某个无关紧要的领域里取得的一点小进展还更有分量。只要你在某个领域做出了重要、显眼的进展，哪怕一篇论文都没发上100篇，你大概照样值得被称赞。这是我的看法。

莱舍提金：学生当然该学怎么用AI，我会鼓励每个学生尽量多去用，但前提是守规矩。我的意思是，它是个极好的学习助手，可比如你开始做家庭作业了，那就必须真正自己动手，否则你根本没在学。我知道现在的AI引擎基本上能把几乎所有本科生作业都做完，所以学生得有责任心，不能滥用AI。同时我也觉得，考试的形式大概也该改一改——比如学生在考场里参加笔试时，规定应当非常严格：手机严禁携带，任何电子设备严禁携带；只要发现哪怕一台电子设备，当场销毁！（笑声）但总之，这是个伟大的工具，我强烈鼓励每一位本科生和研究生去掌握这些工具。

徐文强：那您觉得，评估博士生的方式是不是也得跟着调整？

莱舍提金：这个问题很难回答。我不想把数学成果硬分成“AI做的”和“人做的”两类。有人让AI写整篇论文，有人自己写论文、只让AI完成其中一部分工作，还有人仅仅用AI查找参考文献。情况五花八门，根本没法一刀切。

罗智泉：头一点，AI这东西不管你接不接受，它已经摆在眼前，而且往后还会一直存在，所以全面接纳它是躲不开的。第二点，学生用AI得带着责任心，谨慎着来。不能光当一个看不懂答案的使用者，得动脑子去想、去分析AI给出来的东西，从里头学到东西，判断它到底对不对，再看看有没有什么新点子藏在里面。

我自个儿就碰上过这种事。眼下我带着几个很聪明的本科生，我丢给他们一堆五花八门的问题，跟他们讲：“你们尽管拿AI工具去试，看看能整出什么。”同时我也叫他们来参加我课题组的组会，把他们的批判性思维调动起来。有些学生干得相当漂亮，不光靠AI工具把问题解决了一部分，还能把里头的门道弄明白，条理清楚、合乎逻辑地讲出来，把有创新的关键处点出来。可另外一些本科生呢，活脱脱就是个“传话筒”。他们甩过来一份AI生成的PDF报告，说：“罗教授，答案在这儿，给您。”弄到最后成了我去读那份报告，再告诉他们里头是咋回事，或者指着某处错漏问他们：“这部分你看了没有？”他们这才说：“哦，对，您说得没错。”接着我再追问几个问题，这学生回去以后，又把这些问题原样敲回AI工具里。（笑声）他就彻底成了一个传话筒！这么用AI是不对的。你该拿它来往深里钻自己的学问、打磨自己的学术思路，用得专业、想得周全，批判性还得一直绷着。

徐文强：顺着您这个例子，我再问一句。假定您手底下有俩学生，Alice 和 Bob。同一个题目交给他们：Alice 拿AI只搞定了其中80%，可这80%她吃得极透，剩下那20%就是不会做；Bob 呢，照您说的，就是个传话筒，可他手里攥着100%的完整解答。俩人一块儿回来跟您汇报的时候，您更待见哪一个？

罗智泉：我更看得上 Alice。到了眼下这个AI时代，给家庭作业打分已经没什么意思了，因为这东西怎么来的你压根不清楚。想知道学生究竟学进去多少，就得当面聊——课程结束的时候，你得站到我面前做展示，当面回我的问题，别缩在AI后头。一个学生是不是真学到了东西，依我看这就是那块“试金石”。

丘成桐：先说清楚，“发现”（discovery）跟“验证”（verify）不是一码事。一个问题你也许还没完全弄懂，就已经能对它做出预测了。有的人只懂了三分之一，就敢大胆提出猜想，再靠别人帮忙把问题解决掉。历史上不少大科学家都是这么走过来的，科学就是这么一步步往前挪的。

所以，刚才罗教授谈到的学生作业那档子事，我有点不一样的看法。一个学生要把论文里80%的内容理解得透透的，虽说不知道完整答案，这听着确实挺美；可反过来，一个人先知道了完整的真理，哪怕全部的结构他还没搞明白，也未必就差到哪儿去。

我倒想问问，在座哪位数学家写论文出成果的时候，会把自己引用的每一条定理都从头到尾彻底吃透？没人这么干！你们都是踩在自己并没完全嚼烂的已有结论上，拿来用，然后做出跨越式进展的；当然了，证明做完之后，你会想着确认一下自己学过、用过的那些东西靠不靠得住。物理学家就更别提了，他们天天都在这么干——对自己使的数学工具恐怕所知甚少，可照样做出预测，就靠这个往前走。

数学里头没有“部分真理”，差一个ε，就谬以千里。所以，先百分之百地弄清某个结论是对是错，再一点点去理解它、消化它，这照样很要紧。说实在的，我看每个数学家都是这么往前走的。至少我本人就是这样：引用某些定理的时候，当时可能并没吃透，但我先当它是对的；等做完了回头一查，好些时候才发现自己用的东西有毛病，只好推翻重来。可好歹我弄清楚了自己错在哪儿，这本身也算长进。所以评判学生对学位论文或者作业的贡献，审慎这根弦还是得绷着。

徐文强：回头再看罗教授刚才那番回答，我觉着其实不打架——没准让 Alice 和 Bob 这俩人搭伙干就齐了，一个手里有100%的结果可不太懂，另一个死磕着要把每个细节都弄明白，正好互补。照我看，这几类数学家凑一块儿完全能合作得挺顺，对吧？一般来说，资历深的数学家学术品味也更好些。

罗智泉认为，未来大概率就是这个样子。不同的人在做研究时对AI的倚重程度并不一样：有人完全不用，有人用得比较多，还有人彻底靠AI、自己不太动脑，纯凭运气——可运气好的话，还真就撞上了一个正确答案。这种做法同样有价值，他同意丘成桐的看法：哪怕找出结果的人自己什么都没弄明白，毕竟结果是被他找出来了，研究价值总归有一点。至于这份功劳该记在他头上多少，那就得校准校准、再好好想一想了。

四

数学会不会演变成一条“分工流水线”？

徐文强说，在AI时代，数学家的角色看起来也许会出现一些变化。眼下不少人在议论：将来数学家会不会被拆成好几种类型？比如一部分人只管提问题，一部分人更会用AI，还有一部分人擅长统筹整合、带团队，把数学研究做得越来越像工程？

丘成桐回应，数学家本来就一直分好几类。他身边很多朋友和学生只想当“解题者”，题解出来了成绩就好，就能在顶级期刊发文、得到认可。遗憾的是，学术评价机制至少到现在还在鼓励大家多发论文，不管这些论文是不是真的出色。他觉得这种局面应当改一改，大家该试着迈出大胆的步子，去做预测，去碰全新的东西。

在丘成桐看来，一个优秀的科学家两方面都要抓：既要懂得提出能引领数学、物理或其他学科发生重大变革的好问题，也要学会怎么把它解决掉；不会解题，就永远迈不出下一步，因为你会掉队。哪一方面不是自己的强项，就去找擅长的人合作。科学界不少重大合作就是这么来的——克里克和沃森当年发现DNA结构时，一个在X射线衍射理论上很在行，另一个对遗传学和生物学本身十分精通。不同的技术背景和视野凑到一起很有好处，不过说到底，他认为最好还是自己把两方面都学会。

席南华表示，现在确实有不少人在琢磨这个问题，觉得未来会冒出一类新型数学家，但他不这么看。要当数学家，创造力是少不了的——就像丘先生讲的，你得推动数学往前走，为数学造出新的东西。拿这条当尺子量，数学家就一种：有创造力、能产出新数学，能为数学贡献新思想、新结果和新方法的人。至于用什么具体路子产出新的数学，那是技术层面另说的事。