Kimi在124点图论问题构造出630条边，比人类参考纪录多1条

只多 1 条，听着不算什么。可放在组合数学里，每想多塞一条边，都得在 124 个点之间把整个结构重新精密地排一遍。就是这 1 条边，让 AI 头一回在“极值构造”这种研究级任务上，把人类的参考纪录往前拱了一步。

成果出自姚期智与杨植麟等人的联合研究。姚期智是图灵奖得主、中科院院士、清华大学交叉信息研究院院长，杨植麟是月之暗面创始人。他们真正要回答的是：AI 能不能做数学研究，而不只是做数学题？

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“多 1 条边”能算真突破吗？

姚期智是中国理论计算机科学的奠基者之一，图灵奖得主，同时担任清华大学交叉信息研究院院长；杨植麟是月之暗面创始人，也是 Kimi 背后的推动者。

一位是理论计算机科学界的泰斗，一位是大模型创业一线操盘的人。两代人、两种身份，这是他们第一次联合署名。

这个搭配本身就透出一点：AI 做科研不再是“实验室里的猜想”了，理论计算机科学家和大模型团队得坐到一起，先把“什么算做出来了”定义清楚。

另一面，争议也跟着来：多构造出一条边，究竟算不算真突破？会不会只是暴力搜索蒙对的个例？AI 真懂背后的数学机理吗？

这正是姚期智团队最初想解决的事。分不清“运气好撞上”和“逻辑上证明”，AI 就永远只是个黑盒计算器。于是他们没在传统基准上继续绕，而是合起来搭了一套此前没有的评测系统——TCSExam。

为了回答这个问题，他们拿出 TCSExam，用 100 项理论计算机科学科研任务，看前沿 AI Agent 能不能证明定理、开发 Solver、构造数学对象，甚至去碰长期没解决的猜想。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2611.07962v1

实验里，GPT-6 Astra 在 20 项研究级定理中完成了 14 项；还把某个有限域矩阵猜想在特定条件下的已知证明范围，从 8 维推到了 9 维。

TCSExam 的关键做法，是把 AI 的科研能力变成能独立验证的研究成果。数学证明交给 Lean 4，算法表现交给程序检查器，中间推导靠 Checkpoint 机制核对，局部进展就不会被当成完整成果。

Astra 那个 9 维证明，把复杂的矩阵问题压成整数约束，最后用 143 条方程造出一份可核验的矛盾证书。从任务形式化、研究证书设计到数学证明的自动检查，这套框架给 AI 参与真实科研指出了一条技术路径。

02

TCSExam 的评测框架是怎么搭起来的？

说白了，就是把「AI 做科研」这件事拆成四条能验证的轨道，再叠三层机制，避免把只完成一部分的进展当成完整成果。

普通数学考试有标准答案，理论计算机科学的研究工作却差别很大：有的要证新定理，有的要设计最优算法，有的要构造满足约束的数学对象。成果形态不同，评价方式就得跟着变。

于是研究团队把 100 项任务分进四条轨道：

• 定理证明 20 项：横跨 13 个理论计算机科学领域，模型须提交 Lean 4 证明。

• Solver 工程 30 项：要写出能重复运行的算法程序，在独立测试实例和统一资源限制下接受评测；

• 数学构造 20 项：看模型能不能生成符合严格约束的图、纠错码这类对象；开放猜想 30 项：模型可以从两条路走，一是把证明做出来，二是去找反例。

任务分好之后，更难的地方在数学语言的转写。一段定理描述，人读得懂，机器验证却需要明确的定义、量词、假设和参数范围。哪个条件变了，证明最终对应的数学含义就可能不一样。

举例来说，某定理原本要求一种性质对任意规模的图都成立，转写成 Lean 时若多加了图规模限制，模型即便证完，解决的也只是缩小范围后的版本。形式化证明系统能查代码里的逻辑，却没法自己判断它是否忠实于最初的研究目标。

为此 TCSExam 建了任务编写与独立审核机制：编写 Agent 依据研究材料搭出形式化命题、提交接口和验证程序，审查 Agent 再核对定义、量词和参数条件，用边界样例和试运行挑毛病，研究领域专家则把关任务的研究意义。开发过程中，超过 40 道候选定理因为在试运行阶段就被解决而退出题库。

Solver 轨道另外做了两件事：对部分实例施加保持数学性质不变的变换，降低直接复用已有答案的可能；数学构造轨道则把合法性条件与参考纪录固定下来，保证可比性。

证明任务上，团队还控制了模型能拿到多少研究指导。Bare 模式只给定理和必要定义，Ladder 加上中间引理，Guided 再给证明思路。三种条件用的是同一个主定理，研究者据此可以分辨：模型是卡在找证明路线上，还是知道了关键步骤仍推不下去。

经过这些设计，TCSExam 把研究问题变成了输入明确、执行条件明确、交付要求明确的任务。但模型交上来的东西可能夹着大量中间推导，怎么从中认出真正成立的数学结论，还得靠另一层验证。

03

局部推理和完整证明，怎么分开看？

TCSExam 的底层思路借了理论计算机科学的一个特点：找解难，验解易。团队把这个思路搬进科研评测，要求 Agent 把探索结果整理成验证器能检查的研究证书。

定理证明里，这份证书就是 Lean 代码。Lean 内核按形式逻辑规则检查推导，系统还会审计证明依赖，把未完成的证明占位符和未经允许的额外公理排除掉。

可研究级定理往往要一串中间引理，模型可能推完了大半，偏偏某个关键步骤过不去。只看主定理通没通过，很难说清能力缺口在哪。

所以 TCSExam 设了 Checkpoint 机制，把复杂证明切成若干中间目标。验证某个 Checkpoint 时，系统先把其他 Checkpoint 的命题当作假设，再看模型能不能在这些条件下完成当前这一步推导。

这里有个逻辑边界要留意：证 A 时借了 B，证 B 时又依赖 A，两个局部检查即便各自通过，整体证明仍有循环依赖。因此 Checkpoint 成绩只反映条件性推导做到什么程度，主定理必须去掉未经证明的中间假设，再单独接受检查。

有个案例能说明这种区别：Kimi K3 在某次尝试中完成了 7 个中间 Checkpoint，覆盖程度达到 87.5%，但主定理所需的最终推导没有完成。系统留下了局部成绩，同时不把它算作完整证明。

结合三种指导条件，还能看出模型之间的差距。Kimi K3 在 Bare、Ladder、Guided 模式下分别至少完成 3、4、7 道不同定理，DeepSeek V4.1 Flash 0910 则分别是 0、2、6 道。

给了中间引理和证明思路之后，模型完成的数量明显上升，这说明难点常常落在关键引理的发现上，以及怎么把零散的推导拼成完整证明。

Checkpoint 只是辅助分析的手段。模型要是绕开预设的中间引理，直接给出完整有效的主定理证明，系统照样接受。Agent 自主找证明路线的空间因此保留了下来。

研究证书机制在 Solver 里换了种实现：模型提交可重复运行的程序，检查器重新判断输出是否合法，并算出实际目标值。

拿 IWLS 2023 的逻辑综合任务来说，GPT-6 Astra 面对 100 个实例全部给出了有效电路。其中 22 个电路优于公开参考，31 个与参考持平，剩下的 47 个动用了更多 AND 门。

不同实例的数值尺度差异会干扰整体评价，系统为此加入了以 Kimi K3 多次运行结果为基准的标准化评分，把有效性和优化质量拆开来看。数学构造轨道也照此办理：先看对象是否满足结构约束，再比它拿到的数学参数。

研究目标一旦推进到开放猜想，光靠局部覆盖或者数值上的改进，已经不足以说明结论成立。模型得找出一条完整的证明路线，把其中复杂的结构分析转成能一步步核验的证据。

GPT-6 Astra 对 Alon–Jaeger–Tarsi 猜想的研究，正好把这个过程走了一遍。

Alon–Jaeger–Tarsi 猜想讨论的是有限域上的可逆矩阵。通俗地说，给一个可逆矩阵，研究者要找一个坐标全不为零的向量，并且这个向量经过矩阵变换之后，新向量的坐标也都不为零。

在此之前，相关研究已经覆盖五元有限域中不超过 8 维的情形，Astra 把范围推到了 9 维。维度一涨，要考虑的矩阵与向量组合就迅速膨胀，直接枚举根本证不完，它于是换了另一条数学路线。

证明先从假设入手：假定存在一个不满足猜想的 9 维矩阵，再借助低维情形已经成立的结论，给这个反例加上必须满足的限制。接下来 Astra 不再逐个分析矩阵元素，转而研究向量在矩阵变换前后各有多少个非零坐标。

它构造了两组 10×10 的非负整数数组，分别刻画原矩阵和转置矩阵作用下不同坐标数量之间的对应关系。矩阵可逆性限制了数组的行列总数，有限傅里叶恒等式则把两组数组联系起来。再结合反例的结构性质，还能推出部分计数必须为零。

经过这些条件，原本复杂的矩阵问题被一步步转化成整数约束。不过检查范围还得继续缩小。

Astra 接着分析矩阵中两个列向量的坐标关系，按零元素分布以及非零元素之间的消去比例把它们分成 7 种类别。矩阵维度是 9，各类别的数量加起来必须等于 9，于是可能出现的类别计数组合只剩 5005 种。

关键的一步规模压缩就在这里完成。系统不用枚举全部 9 维可逆矩阵，只要检查这些有限类别组合对应的数学约束。

在此基础上，Astra 把同样的结构分析用到原矩阵、逆矩阵、转置矩阵及其逆矩阵上，又多出四组非负约束。加上前面构造的两组计数数组，最终得到一个包含 204 个非负变量的整数线性系统。

到这一步，证明变成了判断这些整数约束能否同时成立。Astra 从原始的 197 条方程里挑出 143 条带非零乘子的方程，按特定整数系数组合，得出一个不可能成立的关系：204 个变量的系数全为非负，等式右边却是负数。

变量本身又必须非负，这个关系必然矛盾。所以假设中的 9 维反例不存在。

这份证书把复杂的矩阵推导压成了有限的整数计算。独立核验确认，组合后的 204 个系数中 93 个为正、111 个为零。整套证明还被整理成包含 71 个 Lean 模块的项目，在独立环境中重新编译，并完成了公理依赖检查。

从极小反例起步，用坐标计数建立约束，再借有限类别分析缩小问题规模，最后以整数矛盾排除反例——这条路线体现出 AI 把数学结构分析与计算工具结合起来的能力。

不过 Astra 拿下的只是五元有限域上的 9 维特殊情形，完整的 Alon–Jaeger–Tarsi 猜想依然没有解决。TCSExam 的其他开放猜想实验也说明，当前模型离独立解决一般性难题还有差距。

一部分被接受的 Ryser 和 MIRUP 反证，来自对 OpenAI 已公开成果的检索与适配；其余 28 项开放猜想没有拿到完整解决方案。

TCSExam 的实验表明，AI 已经能完成部分研究级证明，在算法优化和数学构造上也取得了可核验的进展。但独立寻找关键引理、规划长程证明，以及把特殊结论推广到一般情形，仍然存在明显困难。

研究证书机制给未来的科研 Agent 提供了一种可以反复迭代的工作基础。模型能用 Solver 搜索候选结构，通过形式化工具检查数学性质，再照着验证失败的位置调整证明策略，把已经成立的中间结果接到后续研究里。

这次实验最该记住的，不是“630比629多1”，也不是“9维比8维多1维”，而是：AI 已经能在部分研究级任务上产出“机器可核验”的新结果，尽管离“自己提出关键引理、自己规划长程证明”还有明显距离。

数学界拿到的是一套能反复使用的评测框架；普通读者看到的或许是个信号：AI 参与科研，正从“替人翻文献、写代码”转向“替人证定理、找反例”；而对 Kimi 与月之暗面，这算一次“AI for Science”的能力亮相。