陶哲轩谈AI与数学：解题之外，理解正在被忽略

10月26日，OpenAI又公布了数学、计算机科学和物理学领域的三项新发现。不过这回公司没把它们说成板上钉钉的科学成果，而是把相关手稿称作有待进一步弄明白的原始研究材料，请外部专家组织团队来核查、解释这些结果。

另一边，人类数学协会（AHM）最新公布的名单显示，协会已有全球1008位成员加入，其中654人加入了“无AI研究小组”。这些人承诺不发表由AI生成的论文、不与前沿实验室合作、不在研究中使用AI。

假设AI很快就能产出几百份手稿，而数学家要花上几个月乃至几年才读得懂、验得完，那“研究变快”到底指的是什么？拿到答案越来越省事，人对知识的领会是不是也跟着更深了？菲尔兹奖得主陶哲轩正是把这个问题摆上台面的数学家之一。10月初OpenAI一口气放出722份由AI生成的数学手稿，陶哲轩随即转发AHM的客座声明，呼吁全球数学界一起行动，要求数学家别再与OpenAI合作。

在《新科学家》最新一期对他的专访中，他承认AI在数学解题方面进步惊人。他真正担心的是，数学研究中某些更重要的东西，会在追逐速度和成果的过程中被忽略。

AI如今已经能解决人类长时间苦苦追寻的难题，那我们是不是也正在失去从解决问题过程中学习、创造和理解的机会？

数学只解题就够了吗？

问：数学和AI会如何相遇？我们该如何看待数学蕴含的力量与希望？

陶哲轩：对数学而言，眼下是一个剧烈动荡的时期。数学的面貌不止一副，AI正把其中某些面强化得厉害，另外一些面却几乎没被碰到。

解题是数学很大的一块，而这一块偏偏特别对AI的胃口。可数学还关乎理解。我们并不想让黑箱直接丢出答案，自己却说不清答案是怎么来的。

数学教人认识世界：哪些东西相互关联，哪些东西彼此相像。把其他所有科学串起来的粘合剂就是数学，而这一面目前还没被AI波及。

问：OpenAI声称解决了纳维—斯托克斯千禧年难题的某个版本。这样一项重大成果如果出自AI之手，而非数学家多年钻研的结果，那这份证明到底缺了什么？

陶哲轩：纳维—斯托克斯问题问的是：方程能不能预言奇点的出现，或者说，奇点能不能形成，也就是所谓的“爆破”？你能不能从某种极为平滑的水的初始状态出发，让水一直运动，到某一刻把速度或压力推向无穷大？很长一段时间里，人们都认为这种事不会发生。

大约十年前，学界的共识开始松动。我们发现有些类似的方程，确实会冒出奇点。也许可以大规模借助机器学习和AI，去找那些有望长成奇点的解。有一阵子，我们离解决它已经非常近了。

有些数学家就差一步便能构造出奇点，时间大约在OpenAI公布结果的前一天。看起来实情是，OpenAI团队上马了一个紧急攻关计划。他们动用自家最大的模型，砸进价值数百万美元的算力，就为了抢在别人前头完成。这么惨烈的竞争，我以前没见过。

这项成果留下的是一份长达100页、由AI生成的证明，让人失望的是，我们几乎没能从中得到什么数学洞见。有位同事借着AI啃了好几天，也只讲得清一半，接下来往哪儿走反而更说不准了。还有研究者担心被AI抢了先，本来活跃的领域一时间乱了阵脚。

那份证明最终会被理解，但这次的做法很不理想，这是一种自动化掠夺式开采。

问：在思考数学时，有哪些容易落入的陷阱？

陶哲轩：世界在我看来分三层：现实本身、观测到的数据，以及拿来说明数据的模型。模型再精确，也只是对现实的近似。我们得弄明白模型能解释什么，也得清楚它在什么时候不管用。

2008年金融危机就是个很典型的例子，不少金融模型低估了不同地区房贷违约之间的关联，等到风险爆发，模型的假设不再成立，原本看着已经对冲掉的风险一下子全露了出来，金融工具于是大面积失灵。所以说，弄清模型的边界，和弄清模型本身一样要紧。

问：数学为什么需要暂时脱离现实？

陶哲轩：数学像个解题的游乐场，我们常挂在嘴边的是“玩”这个字，我把数学看成成年人的游戏，一种确实管用的游戏。玩一个问题玩出来的东西，往往还能帮我们解决更实际、更贴近现实生活的问题。有时候，要解决一个真实问题，最好的法子恰恰是先去解一个很不现实的问题，它会给你一个基准。

问：对于刚开始学数学的学生，你会如何向他们证明，枯燥的数学仍然值得学习？

陶哲轩把数学教育划成三个阶段。头一个叫“前严谨阶段”，对应小学——学的只是数和图形这类概念，与现实世界挂得上钩，也不必非得算出准确答案，所以不少孩子挺喜欢这段。接着进入“严谨阶段”，要对付各种古怪公式，算的东西必须对。再往后是“后严谨阶段”：一旦你受过把计算做对的严谨训练，就可以重新回到更靠直觉的思考路子上。

数学真正变得有意思，是到最后这个阶段。遗憾的是，人们差不多要读到研究生才看得见这一点。好在如今网上机会不少，能找到喜欢拆各种谜题的人凑成的社群，大家用挺好玩、也容易亲近的方式接触数学。不过要走到这一步，常常得有个不那么线性、不那么传统的教育环境。

问：现实世界怎样影响数学家的思考方式？

陶哲轩说，人想抽象数学对象时，往往会去找现实里的对应物，而对那个对应物早已有经验。有时候游戏也能帮上忙——某些类型的数学问题，完全可以当成游戏来看。

一般情形下，在平面上朝一个方向一直走，不会从另一头绕回来。可有些数学空间是弯的，一些游戏也一样，比如《吃豆人》：从一边走出去，就会从另一边回来。

游戏能教人认识各种奇特的几何。现实世界里许多经验，都能给思考抽象数学对象添出新路子。

问：AI本身能不能成为一个数学问题？

陶哲轩的回答是当然能，AI的理论还很不完整。拿语言模型来说，靠预测下一个词，它就能写出连贯文本，甚至把数学题解出来。可模型究竟怎样从海量数据里学到这些规律，我们还没真正弄明白。它们有时本事大得惊人，有时又犯下难以预料的错。

正因如此，得发展新的数学理论，把AI的能力和局限解释清楚。AI越重要，研究它本身就越会成为数学家的重要工作。

问：哪些数学工具能推动这件事？

陶哲轩点出了几个不同分支：最优化理论帮着改进模型训练，拓扑数据分析用来研究数据的结构，不确定性量化则评估模型预测有多可靠。另外，信息论和计算复杂性理论也能帮忙弄清模型需要多少参数、多少数据、多少计算资源。

眼下大家主要靠经验法则。香农的信息论给通信打下了成熟的数学底子，让人能算信息容量、分析传输极限；可对智能或者数据复杂度，却没有对应的概念，AI的极限在哪，谁也不知道。

问：AI的风险在哪里？

陶哲轩说，AI解数学谜题很在行，而事实证明，网络安全领域里攻击者想闯进一个不安全的系统，跟解数学谜题非常像。系统有它的规则，擅长数学的AI，也擅长闯进系统。现在人们给AI派任务，常常会说“不惜一切手段解决这个问题”。在他看来，AI开始变得危险了。

Lean能用来检验证明，但它不是一门完美的语言。人们已经在Lean本身找出一些可被利用的漏洞。AI开始不老老实实解题，转而去找Lean里的漏洞作弊，构造一份假证明，再让它蒙混过去。要是没有防护措施和监督，只管把任务丢给它们，那迟早要出问题。

问：我们掌握的数学，够不够建立良好的防护栏？

陶哲轩认为不够，AI技术发展得太快。单说数学，用现有工具已经能做出很多出色的研究。站在他们的角度，实在没必要再进一步加速；把所有安全风险算进去，这么做不值得。

现在的科技巨头陷在一种囚徒困境里：“我们必须加速，否则竞争对手就会抢在前面。”陶哲轩说这是一种极其有害的互动。没有人愿意走得这么快，可每个人都觉得自己别无选择。

问：哪些领域的研究人员能帮数学家解决这个问题？

陶哲轩说这会是一门高度跨学科的科学。首先得从数据里总结经验，所以要数据科学家；还有神经科学家、哲学家、教育家等等。如今数学要触及一切，尤其在AI时代，必须跟所有人交流。

问：除了AI，还有哪些数学问题是你希望未来能有进展的？

陶哲轩说自己个人最喜欢的问题之一是孪生素数猜想：是否存在无穷多对相差恰好为2的素数？他喜欢它，不光是问题本身，还因为解决它可能需要一种理解素数的新方法。他不想要一份长达1000页、却带不来任何洞见的证明。

问：素数问题吸引数学家数千年，这类抽象问题为什么能在漫长岁月里让这么多人深深着迷？

陶哲轩说，有些问题很容易理解，却很难解决。1900年，希尔伯特提出了著名的23个数学问题，其中包括黎曼猜想。他相信人类能够不断推进数学知识，并以一句话表达这种信念：“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”——“我们必须知道，我们必将知道。”

AI已经攻下越来越多题目，早晚会撞上现有办法迈不过去的坎。数学的新边疆，或许就藏在那道坎后面。

世上还有很多更急的事，我们可能来不及做却又非做不可。至于数学，压根不存在被做完的风险。

数学的玩法已经不同了

陶哲轩这话听着乐观。可AI正在改写数学的玩法，人类数学家的位置也得重新摆。

10月22日，他在《Nature》上发了一篇文章，题为《数学能否在AI时代生存？》，文中讲了他对Math 2.0的设想。

他的判断是，老一套数学路子撑不下去了，数学家评价学科贡献时得换个更整体的眼光。

另一边，AI有可能带出数学研究的新范式。比如让它造出一个数据集，里面装着数百万个难度不一的数学问题，再让它分析，从中翻出意想不到的规律，拿这些规律去提有价值的新问题。

陶哲轩格外强调的是，数学不能全指着大型AI企业。数学共同体得有自己的开放模型和研究工具，让研究者能参与训练、检查、改进模型，并且保留对AI研究过程的监督权和干预权。

这并非空谈。早在9月，他就在博客里呼吁推进SAIR开放数学模型计划，想让数学家把自己的AI研究基础设施攥在手里。

还有一条技术路线跑得也快：10月26日，AI数学研究公司Axiom Math亮出重大成果，其AI系统AxiomProver在Lean 4中完成了有限单群分类定理（CFSG）的形式化证明，这是数学史上规模最大的证明之一。

说白了，这好比让AI接手一套超大型工程手册，手册由上百位专家、数百本说明书一起写成。它得把内容全读明白，还得把每一步都转成计算机能核查的指令，前后逻辑对不对，逐一验过。

出乎意料的是，团队查出原有文献里有34处显著差异需要处理。其中一处牵涉不平衡群定理的关键论证，还真得补上新的数学推导。

这件事的分量早已不限于证明一道数学题。这回AI试着把散落的知识串起来，核对它们之间的逻辑关系，甚至揪出人类研究里长期搁着的老问题。

SAIR和Axiom，两条路最后指向同一个答案：AI正一步步变成数学研究基础设施的一部分。

那人类数学家的精力，该往哪儿使？

多伦多大学数学系助理教授丹尼尔·利特给出了另一种可能：AI产出成果和人类理解可以一块儿长。过去数学界常把创造数学成果、培养高质量数学家这两个目标搅在一起，AI改的是前者的实现方式，未必说明后者就没了意义。教育上，与其让学生反复做AI拿手的计算，不如看重口头答辩、学术讨论，还有独立啃新问题的本事。

下一代数学家眼前的，是一张不断铺开、随时能检验和探索的知识地图。数学的下一段历史，正在写。