数值分析（计算方法）· 专家技能包
数值分析是研究"用计算机求数学问题近似解"的方法及其理论的一门课，又称计算方法 / 科学计算。它把数学理论与算法实现结合，是理工科（尤其计算机、力学、电子、机械、金融工程）的核心基础课。
何时使用本技能
- 把解析难解的问题（无初等原函数、大型方程组、非线性、微分方程）转成可计算算法。
- 选择方法：插值/拟合、积分、解方程组、求根、解微分方程、求特征值。
- 写/改数值程序（Python、MATLAB）并验证正确性、收敛性、稳定性。
- 排查异常：高次插值振荡、迭代不收敛、结果残差小却不准（病态）、刚性方程爆掉。
- 课程备考：误差、Lagrange/Newton 插值、样条、最小二乘、Newton-Cotes/复化/Romberg/Gauss 积分、Gauss 消去/Cholesky/追赶法、Jacobi/GS/SOR/CG、Newton/割线、Euler/RK、幂法/QR。
知识体系（详见 references/uni-numerical-analysis-core.md）
按 M1–M9 组织：
- M1 定位：数值分析=计算方法；先修微积分/线代/ODE；本科多为 32 学时、研究生多为 40 学时（口径见推测段）。
- M2 误差：绝对/相对误差、误差限、有效数字、浮点舍入、误差传播、病态/条件数 cond(A)、数值稳定性、避免误差危害技术（秦九韶等）。
- M3 插值：Lagrange、Newton（均差）、Hermite、Runge 现象与分段、三次样条。
- M4 逼近/拟合：最佳平方逼近、正交多项式（Legendre/Chebyshev）、最小二乘拟合与法方程。
- M5 数值积分/微分：梯形、Simpson、复化、Romberg（Richardson 外推）、Gauss 型、自适应、数值微分。
- M6 线性方程组：Gauss 消去（列主元）、LU/Doolittle、Cholesky、追赶法；Jacobi/GS/SOR/CG/Krylov，收敛条件 ρ(B)<1、对角占优。
- M7 非线性：二分、不动点迭代、Newton（平方收敛）、割线、Aitken/Steffensen、非线性方程组。
- M8 常微分方程：Euler、改进 Euler/梯形、RK4、线性多步、收敛性与绝对稳定域、刚性。
- M9 特征值：幂法、反幂法、Householder/Givens、QR 算法。
标准作业流程（详见 references/uni-numerical-analysis-sop.md）
- SOP-0 总流程：建模→定型→选方法→误差预算→实现→自检→稳定性检查。
- SOP-1~10：误差判定、插值选型、最小二乘、积分选型、线代直接法、线代迭代法、非线性求根、ODE、算法自检、结果可靠性评估。
- 每个 SOP 含选型表与安全陷阱（如"高次多项式插值默认危险""残差小≠答案准""迭代必设上限"）。
- 常用工具：Python(SciPy/NumPy)、MATLAB；底层 LAPACK/PETSc/Eigen。
案例与排错（详见 references/uni-numerical-analysis-cases.md）
- 6 个应用案例（结构仿真、气象流体、金融定价、图形样条、实验拟合、ML 底层）。
- 7 道自编例题附可复算答案（误差有效数字、Lagrange 插值、Newton 均差、复化 Simpson 算 eˣ、Gauss 消去、Jacobi 迭代、Newton 求 √2）。
- 24 条错误排查表（振荡/不收敛/病态/刚性/奇异性/浮点陷阱等）+ 易混淆概念对比 + 上机自检清单。
触发场景速查
- "怎么求 ∫e^{−x²} 这种积分？" → SOP-4 / M5（复化 Simpson 或 Gauss）。
- "这个方程组解出来残差很小但明显不对" → M6 条件数 / SOP-5 验证。
- "插值画出来两端乱抖" → M3 Runge 现象 / SOP-2 改分段或样条。
- "程序跑出来 NaN 或发散" → SOP-9 自检 / 24 条排查表。
- "微分方程求解中间爆了" → M8 刚性 / SOP-8 改隐式或减小步长。
类型化增强：学习闭环（视频线索 → 自己总结 → AI 出题）
本技能属于专业知识类。它在原有的知识框架、解题流程与案例排查之外，新增一条可运行的学习闭环。三个环节各有一个脚本，脚本只读取本技能 references/*-core.md 里已经写明的章节与要点，把它们组织成骨架、工单或检索词。脚本不生成学科结论，不编写题目答案，不下载视频，不编造 BV 号。
何时使用这些能力
- 用户说「给我出几道题」「自动出题」「按章节组卷」「出一套自测题」时，使用者应运行
scripts/quiz_gen.py。 - 用户说「帮我自己总结」「用费曼法复述」「我哪些章节没掌握」时，使用者应运行
scripts/self_summary.py。 - 用户说「找点视频」「有没有配套课程视频」「按知识点找视频」时，使用者应运行
scripts/video_learning.py。 - 用户只问原技能已有的解题、概念讲解、备课或复习规划时，使用者应沿用上方原有流程，不必调用这三个脚本。
三个脚本的输入与产物
| 脚本 | 输入来源 | 产物 | 校验方式 |
|---|---|---|---|
scripts/quiz_gen.py |
references/*-core.md 的章节与列表要点 |
assets/quiz-skeleton.md，每题含来源章节、知识点原文、题型、题干位、答案位、解析位 |
--check 检查占位符是否填完、来源锚点是否齐全 |
scripts/self_summary.py |
references/*-core.md 的二级标题 |
assets/self-summary.md，每章含复述、举例、卡壳点、回查、掌握程度 |
--check 输出填写覆盖率与未完成章节 |
scripts/video_learning.py |
章节名转检索词 + 本机 ../bili-zone-*/references/ups.md 快照 |
assets/video-clues.md，含检索词表与可核验 BV 号候选 |
--check 逐个核对 BV 号是否存在于本机快照 |
本技能当前可从 core.md 抽出约 12 个二级章节，前几节是：M1 课程定位与研究对象、M2 误差理论（一切数值计算的起点）、M3 插值法（用简单函数逼近离散数据）。参考文件共 3 份：uni-numerical-analysis-cases.md、uni-numerical-analysis-core.md、uni-numerical-analysis-sop.md。脚本每次运行都会重新读取这些文件，因此参考资料更新后，骨架会跟着更新。
命令示例
python scripts/quiz_gen.py --make --limit 12
python scripts/quiz_gen.py --check assets/quiz-skeleton.md
python scripts/self_summary.py --make
python scripts/self_summary.py --check assets/self-summary.md
python scripts/video_learning.py --make --zones kepu,xiaoyuan
python scripts/video_learning.py --check assets/video-clues.md
--make 生成骨架时输出 MAKE_OK，--check 在未填写时输出 CHECK_FAIL 并返回非零退出码，全部填写后输出 CHECK_OK。video_learning.py 默认只在本机的「科学科普」与「校园学习」两个分区里找候选，使用者可以用 --zones 调整分区范围。
数据边界（必读）
- 出题骨架里的题干、选项、答案、解析一律留
[待填写]。使用者或模型必须依据本技能的references/*-core.md与*-cases.md现场填写，并为每题保留来源章节。脚本不代替学科判断，也不保证答案正确性。 - 自己总结框架里的复述、例子与卡壳点由使用者本人填写。脚本只统计覆盖率，不替人生成总结内容，也不评价总结质量。
- 视频线索的匹配规则只是「视频标题包含检索词」。字面命中不等于内容对应，例如通用词可能命中无关领域的视频。使用者必须点开链接现场核实标题、内容与时效性。
- 视频候选的 BV 号与链接全部来自本机 B 站知识区快照，采集时间写在表中。脚本不联网抓取，不推断视频口播、字幕与选集目录，也不对视频质量作评价。
- 已有课堂录音时，使用者可以调用本机
lecture-audio-summary在本地转成文字并整理成课堂总结；需要自制配套讲解短视频时，使用者可以调用本机video-studio。这两条路径产出的是使用者自己的内容，不是外部课程视频。 - 本技能不新增任何课程事实。所有学科结论仍以原有
references文档末尾的 MLA 引用与「可验证事实 / 推测与建议」分段为准。
建议的学习顺序
使用者先运行 self_summary.py 找出讲不清的章节，再把卡壳点交给 quiz_gen.py 生成针对这些章节的自测题，最后用 video_learning.py 的检索词补充外部讲解。三个环节都用 --check 收口，避免留下半成品。
验证与回滚
本轮迭代的整包快照在 C:\Users\Administrator\.workbuddy\skill-backups\uni-numerical-analysis.bak-*。使用者若要回滚，把对应快照目录里的文件复制回本目录即可。本轮没有改动第三方已上线的技能，也没有执行任何上线或发布操作。
引用（MLA 格式）
- 本技能的章节与要点来源见
references/目录内各文件末尾的「参考来源」段。 - 本机视频快照：B 站知识区技能地图.
bili-knowledge-atlas/references/zones.md, 2026. - 本机课堂录音整理能力：长时长中文录音 → 课堂总结.
lecture-audio-summary/SKILL.md, 2026. - 本机自制短视频能力：视频工坊.
video-studio/SKILL.md, 2026.
