复变函数与积分变换
适用场景
- 课程学习：工科本科《复变函数与积分变换》的预习、复习与作业求解。
- 备课与教学：教师按教育部基本要求排课（复变函数 + 积分变换两大块）、设计教案、考核方案。
- 解题训练：解析性判定、复积分、级数展开、留数算积分、共形映射、傅里叶/拉普拉斯变换。
- 工程建模：电路阻抗、信号频谱、平面势流、热传导边值、控制系统稳定性等问题翻译为复分析/积分变换语言。
核心知识框架
- M1 复数与复平面：代数/三角/指数表示、运算、复球面与无穷远点、区域（单/多连通）、复变函数极限与连续。
- M2 解析函数：可导与解析、柯西–黎曼（C-R）方程、初等解析函数（指数、对数多值、幂、三角/双曲）、平面场复势。
- M3 复变函数积分：复积分、柯西–古萨定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式、原函数、调和函数。
- M4 级数：复数项级数、幂级数、收敛半径、泰勒级数、洛朗级数、孤立奇点分类、无穷远点性态。
- M5 留数：留数定理、留数计算规则、三类定积分（三角有理式/无穷积分/含 e^{iax}）、对数留数、辐角原理、儒歇定理。
- M6 共形映射：导数几何意义、分式线性映射（保角/保圆/保对称）、幂函数与指数映射、儒可夫斯基函数、拉普拉斯边值。
- M7 傅里叶变换：傅里叶级数→积分、F 变换定义与逆变换、δ 函数、性质、卷积定理、频谱。
- M8 拉普拉斯变换：定义与存在定理、常用变换对、性质、逆变换（部分分式/留数法）、解常微分方程。
- M9 选学标准定理（工程选学 / 考研补充）：柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理、最大模原理、唯一性定理与零点孤立性、施瓦茨引理（非 M1–M8 必修主干，详见 core.md §10）。
标准作业流程（SOP）
- 解析性判定：写 u,v → 算四偏导 → 验 C-R（u_x=v_y, u_y=−v_x）→ 验偏导连续 → 下结论。
- 复积分选择器：单连通解析⇒柯西定理/原函数；含奇点形如 g/(z−z₀)^n⇒柯西公式/高阶导数；多奇点⇒留数定理；否则参数化。
- 泰勒/洛朗展开：用 1/(1−w)=Σwⁿ 等已知式作间接展开，按环域放缩。
- 留数与定积分：分类奇点→算留数→三类积分（z=e^{iθ} 单位圆 / 补上半平面大半圆 / 加约当引理）。
- 共形映射选型：上半平面→单位圆用 w=e^{iθ}(z−z₀)/(z−z̄₀)；角域→半平面用 z^{π/α}；带域用 e^z；三对点校验。
- 傅里叶变换：查表/性质（微分 F{f'}=iωF、卷积定理）；δ 处理。
- 拉普拉斯变换与逆变换：微分性质 L{f'}=sF−f(0)；逆变换用部分分式或留数法。
- 拉氏解微分方程：取 L→代入初值→s 域代数→解出 Y(s)→逆变换→代回校验。
- 证明类工具：最大模原理定位 |f| 最值边界、刘维尔定理证整函数有界为常数、摩勒拉定理（连续+闭路积分零⇒解析）、唯一性定理与零点孤立性、施瓦茨引理（详见 SOP-9）。
常见问题与排查
- 只写 C-R 就判解析 → 还须 u,v 一阶偏导连续。
- 闭路积分直接写 0 → 先确认内部单连通解析，多连通要补内边界。
- 洛朗展开环域选错 → 先找全部奇点再分段。
- 留数漏算无穷远点 → 闭路包围全部有限奇点时 Res(∞,f)=−Σ有限留数。
- 拉氏微分性质漏初值 → L{f''}=s²F−sf(0)−f'(0)。
- 傅里叶逆变换漏 1/2π；共形映射分式分子分母写反；多值函数不标分支。
完整 17 条排查见 references/uni-complex-analysis-cases.md。
输出模板
解题/讲解时按「判定 → 选方法 → 列式 → 结果 → 易错提醒」五段给出；备课按「模块目标 → 重点难点 → 例题梯度 → 作业要点」组织。
参考来源（MLA 格式）
- 教育部.《高等学校工科本科部分基础课课程教学基本要求》. 教高二字 005 号, 1987.
- 西安交通大学高等数学教研室.《工程数学·复变函数（第四版）》. 高等教育出版社, 2013. ISBN 978-7-04-005553-5.
- 李红, 谢松法.《复变函数与积分变换（第五版）》. 高等教育出版社.
- 钟玉泉.《复变函数论（第三版）》. 高等教育出版社, 2004. ISBN 978-7-04-012943-4.
- 北方工业大学.《复变函数与积分变换》教学大纲. jpk.ncut.edu.cn, 2016.
- 华中科技大学数学与统计学院.《复变函数与积分变换》教学大纲（2016 版）. maths.hust.edu.cn, 2016.
- Massachusetts Institute of Technology. "Complex Variables with Applications (18.04)." MIT OpenCourseWare, ocw.mit.edu.
可验证事实
- 课程为工科必修基础课、高等数学后续课（多份高校大纲一致）。
- 教育部基本要求"复变函数"参考学时 32–36；北方工大 48 学时、华科 40 学时。
- 西安交大《复变函数》第四版 ISBN 978-7-04-005553-5；华科采用李红、谢松法第五版。
- C-R 方程、柯西积分公式、留数定理、傅/拉变换定义为教材与 MIT 18.04 一致采用。
- 钟玉泉《复变函数论》第三版（ISBN 978-7-04-012943-4）为标准数学系教材，含最大模原理、刘维尔定理、摩勒拉定理、唯一性定理、施瓦茨引理等本技能 M9 选学内容；解析延拓、调和函数深章为数学系进阶专题，本工程技能包未展开（需人工核实是否纳入目标课程）。
推测与建议
- 考研口径：统考数学一/二/三不含本课，部分高校自命题专业课可能考，以目标院校当年大纲为准（需人工核实）。
- 各校学时、章节归属（积分变换是否并入）差异大，以本校大纲为最终依据。
- 多值函数分支、共形映射、拉氏初值条件为最高频失分点，建议重点训练。
类型化增强：学习闭环（视频线索 → 自己总结 → AI 出题）
本技能属于专业知识类。它在原有的知识框架、解题流程与案例排查之外，新增一条可运行的学习闭环。三个环节各有一个脚本，脚本只读取本技能 references/*-core.md 里已经写明的章节与要点，把它们组织成骨架、工单或检索词。脚本不生成学科结论，不编写题目答案，不下载视频，不编造 BV 号。
何时使用这些能力
- 用户说「给我出几道题」「自动出题」「按章节组卷」「出一套自测题」时，使用者应运行
scripts/quiz_gen.py。 - 用户说「帮我自己总结」「用费曼法复述」「我哪些章节没掌握」时，使用者应运行
scripts/self_summary.py。 - 用户说「找点视频」「有没有配套课程视频」「按知识点找视频」时，使用者应运行
scripts/video_learning.py。 - 用户只问原技能已有的解题、概念讲解、备课或复习规划时，使用者应沿用上方原有流程，不必调用这三个脚本。
三个脚本的输入与产物
| 脚本 | 输入来源 | 产物 | 校验方式 |
|---|---|---|---|
scripts/quiz_gen.py |
references/*-core.md 的章节与列表要点 |
assets/quiz-skeleton.md，每题含来源章节、知识点原文、题型、题干位、答案位、解析位 |
--check 检查占位符是否填完、来源锚点是否齐全 |
scripts/self_summary.py |
references/*-core.md 的二级标题 |
assets/self-summary.md，每章含复述、举例、卡壳点、回查、掌握程度 |
--check 输出填写覆盖率与未完成章节 |
scripts/video_learning.py |
章节名转检索词 + 本机 ../bili-zone-*/references/ups.md 快照 |
assets/video-clues.md，含检索词表与可核验 BV 号候选 |
--check 逐个核对 BV 号是否存在于本机快照 |
本技能当前可从 core.md 抽出约 13 个二级章节，前几节是：一、知识模块地图（M1–M8）、二、M1 复数与复平面、三、M2 解析函数。参考文件共 3 份：uni-complex-analysis-cases.md、uni-complex-analysis-core.md、uni-complex-analysis-sop.md。脚本每次运行都会重新读取这些文件，因此参考资料更新后，骨架会跟着更新。
命令示例
python scripts/quiz_gen.py --make --limit 12
python scripts/quiz_gen.py --check assets/quiz-skeleton.md
python scripts/self_summary.py --make
python scripts/self_summary.py --check assets/self-summary.md
python scripts/video_learning.py --make --zones kepu,xiaoyuan
python scripts/video_learning.py --check assets/video-clues.md
--make 生成骨架时输出 MAKE_OK，--check 在未填写时输出 CHECK_FAIL 并返回非零退出码，全部填写后输出 CHECK_OK。video_learning.py 默认只在本机的「科学科普」与「校园学习」两个分区里找候选，使用者可以用 --zones 调整分区范围。
数据边界（必读）
- 出题骨架里的题干、选项、答案、解析一律留
[待填写]。使用者或模型必须依据本技能的references/*-core.md与*-cases.md现场填写，并为每题保留来源章节。脚本不代替学科判断，也不保证答案正确性。 - 自己总结框架里的复述、例子与卡壳点由使用者本人填写。脚本只统计覆盖率，不替人生成总结内容，也不评价总结质量。
- 视频线索的匹配规则只是「视频标题包含检索词」。字面命中不等于内容对应，例如通用词可能命中无关领域的视频。使用者必须点开链接现场核实标题、内容与时效性。
- 视频候选的 BV 号与链接全部来自本机 B 站知识区快照，采集时间写在表中。脚本不联网抓取，不推断视频口播、字幕与选集目录，也不对视频质量作评价。
- 已有课堂录音时，使用者可以调用本机
lecture-audio-summary在本地转成文字并整理成课堂总结；需要自制配套讲解短视频时，使用者可以调用本机video-studio。这两条路径产出的是使用者自己的内容，不是外部课程视频。 - 本技能不新增任何课程事实。所有学科结论仍以原有
references文档末尾的 MLA 引用与「可验证事实 / 推测与建议」分段为准。
建议的学习顺序
使用者先运行 self_summary.py 找出讲不清的章节，再把卡壳点交给 quiz_gen.py 生成针对这些章节的自测题，最后用 video_learning.py 的检索词补充外部讲解。三个环节都用 --check 收口，避免留下半成品。
验证与回滚
本轮迭代的整包快照在 C:\Users\Administrator\.workbuddy\skill-backups\uni-complex-analysis.bak-*。使用者若要回滚，把对应快照目录里的文件复制回本目录即可。本轮没有改动第三方已上线的技能，也没有执行任何上线或发布操作。
引用（MLA 格式）
- 本技能的章节与要点来源见
references/目录内各文件末尾的「参考来源」段。 - 本机视频快照：B 站知识区技能地图.
bili-knowledge-atlas/references/zones.md, 2026. - 本机课堂录音整理能力：长时长中文录音 → 课堂总结.
lecture-audio-summary/SKILL.md, 2026. - 本机自制短视频能力：视频工坊.
video-studio/SKILL.md, 2026.
