CFSG定理被AI形式化验证：24天跑完15000页证明

一项人类有史以来规模最大的数学证明，如今已经过计算机形式化验证。

有限单群分类定理（CFSG，Classification of Finite Simple Groups）刚刚被AI完整形式化。

全球百余名顶尖数学家花了大半个世纪、写下长达15000页的「数学天书」，初创团队Axiom研发的多智能体系统只用24天就把这套证明全部跑通。

更让人吃惊的是，AI还搭出了人类首个超过4000万行的Lean代码库。

按代码行数算，它现在是史上最大的开源软件项目，规模压过Linux内核、Chromium、Firefox、LLVM、GCC、FFmpeg等。

它甚至在原有证明里找出了人类留下的漏洞，并自己证明了新的数学定理把漏洞补上。

知名数学家Ken Ono动情发文，悼念今年1月去世的数学家父亲。

他回忆起童年时父亲引荐自己走近群论巨匠的岁月，亲眼见证人机协作跨过这条历史终点线时，这位数学大师忍不住当场泪崩。

数学的「对称周期表」：巨型定理

在数学界，这个定理有个如雷贯耳的绰号——「巨型定理」（The Enormous Theorem）。

在这之前，没有人能从头到尾完整读完全部证明。

那「群」到底是什么？

说白了，群是用来描述「对称性」的数学语言。

举个例子，正六边形的对称性对应一个二面体群：

再比如，用图论看魔方，每个状态是一个顶点，每一步移动就是这张巨大图上的一条边。

这段动画演示了排列如何穿越43百亿亿种配置，最终走到解法。

所有有限群都能像化学分子拆成原子那样，拆成不可再分的「基本构件」——这就是有限单群（Finite Simple Groups）。

分类定理之所以伟大，就在于它给全宇宙的对称性列出了一张「元素周期表」。

它明确宣告：

所有有限单群，要么是素数阶循环群，要么是至少5个符号的交错群，要么是16个无限家族的李型群，要么就属于26个极度特殊、无法归类的「零散群」（Sporadic groups）。

这26个零散群里，最大的那个被数学家敬畏地叫作「魔群」（Monster Group）。

顺便说一句，1998年Richard Borcherds因证明著名的「怪兽月光猜想」（Monstrous Moonshine）拿到菲尔兹奖。这个猜想揭示了数学中一个惊人的联系：最大的散在单群「魔群」，竟与数论中的模函数有着深刻的数学关联。

2007年，物理学巨擘Edward Witten进一步提出，这套包含魔群的理论或许能用来描述一个简化宇宙中的引力，编码黑洞在不同能级上的量子态分布，进而算出黑洞的熵。

从1950年代起，为了证明巨型定理，大约100位数学家在500多篇学术论文中拼出了长达15000页的证明，体量约合14部《红楼梦》。

这套证明体量太大，铺得太开。1983年数学家Gorenstein对外宣布证明完成，可其中还留着一个相当大的缺口，一直到2004年，Aschbacher和Smith才用一篇1221页的论文把它补上。

证明长到这个地步，人出错的概率就上来了。Aschbacher自己说过：「要写出一个非常长且复杂的论证而不犯错，是不可能的。」

人脑处理复杂逻辑已经快到头了。这时候，该AI上场了。

AI出征：24天，干了人类半个世纪的活

1.5万页的「数学珠穆朗玛峰」摆在面前，Axiom团队没走传统蛮力计算那条路，他们放出的是一群多智能体——AxiomProver。

所谓「形式化」，就是把人类用自然语言写下的证明翻成Lean代码。这一步做完，等于让一台不讲情面的机器拿着放大镜，逐字逐标点地核对那15000页纸。

启动指令是2026年10月1日在一条Slack频道里敲下去的。

工程师和数学家先把庞大的「巨型」切成108个里程碑、约380个小任务，拼出一张巨大的「证明地图」。

10月2日，第一批AI「蜂群」上线。

这群智能体随即像训练有素的队伍那样分了工：领头的AI拆解高难度论证，其余的要么搜罗已有结果，要么埋头写Lean代码。碰上还没证明的先决条件，某个AI会自动把这块任务转包给另一个AI。所有产出最后都汇进同一个共享代码库。

过程并非一路顺畅。AI写代码的速度太快，Lean系统重新检查依赖项时反倒撞上了算力瓶颈。

无奈之下，Axiom的工程师临时重构底层工程设施，赶出一套分布式缓存系统，才算勉强跟得上AI那股产出速度。

10月10日，Slack频道里跳出一条让所有人沸腾的消息：

我们证明了魔群是单群。

魔群是AI从结构信息里认出来的，而且它用代码把这个存在彻底形式化了。

前后只用了24天。

24个日日夜夜下来，这群不知疲倦的智能体写出4310万行Lean代码，搭起了目前人类规模最大的Lean代码库。

人的智慧就这样被机器逐条检过一遍，逻辑上的漏洞也被揪了出来。

史诗级反转：AI揪出人类大师的「致命Bug」并亲手修复

人说话、写文章，总爱省略。

有网友填了一首词，拿数学证明里的思维跳跃开涮：

西江月·证明

即得易见平凡，仿照上例显然

留作习题答案略，读者自证不难

反过来推也一样，推论照样成立。中间过程就不写了，Q.E.D.。从上面这些就能看出，证明已经完成。

AI 行不通的，恰恰是数学论文里那些常见说法：「显然可得」「同理可证」「易证」。形式化证明不认这些，每一步都得有清清楚楚的逻辑支撑。

一行一行扫、一步一步逼着推理，AI 智能体记下了数百处异常。多数是人类笔误、表格填错，或者漏了前提条件。可其中 34 处，是实打实的重大逻辑偏差。

最要命、最核心的那个「Bug」，落在关键的不平衡群定理（Unbalanced Group Theorem, UGT）上。UGT 是整个分类定理里极要紧的一环，干的是「由局部看整体」的活：研究一个群的子群结构，反推整个大群长什么样。

Axiom 团队一开始挑的是 John Walter 在 1986 年发表的一篇权威文献，拿它当形式化的底子。结果翻译这段人类自以为天衣无缝的论证时，AI 智能体突然拉响了红色警报。AI 发现，Walter 证明里有个关键的闭包断言，逻辑上根本站不住。

AI 不光挑出错，还甩出一个明确的反例：PSL₂(49)。这个反例里，一个操作会造出一个被明确排除在目标家族之外的群——因为 7 是梅森素数。

人类引以为傲的那份证明，到这儿就断了链。1.5 万页的逻辑大厦，随时可能塌。

那怎么办？要是去借后人写的「第二代证明」，一来会引入海量全新依赖，二来这 24 天的功夫就全白费了。

就在这时，人机协作最精彩的一幕来了。Axiom 团队紧急连线了当年参与 CFSG 原始工作的活化石——群论泰斗 Richard Lyons 和 Ronald Solomon。

听完 AI 找出的漏洞，人类大师的直觉和 AI 的算力对上了频率。靠着 Solomon 在 1976 年提出的理论，数学家们想出了一条新的证明路线。

接着 AxiomProver（AI 系统）亲自上阵，照新思路严丝合缝地证出了一个全新的群论结果——Preservation of simple tops。这个由 AI 主导证明的新定理，像一块量身定做的补丁，把人类大师当年留下的窟窿堵得严严实实，分类定理所需的 UGT 形式也顺利推了出来。

定理还是成立，但这证明已经不完全归人类了。这是人类历史上头一回，AI 在最顶级的纯数学研究里不只当「验算器」，还成了发现新定理、补核心漏洞的「合作研究员」。

这让人想起数学史上相似的一幕：2002 年菲尔兹奖得主 Vladimir Voevodsky，发现自己的证明是错的，而且救不回来。1999–2000 年，他在普林斯顿高等研究院讲课那阵，察觉早年一个关键引理有问题，原命题没法照原样挽救。

到2013年，他又确认1989年的另一项结果同样站不住脚。其实早在1998年，就有人拿出了反例。

连续出错之后，Voevodsky不再认为人类能可靠地核查复杂证明。他把目光投向Coq、同伦类型论和单值基础，想让计算机来验数学。

为了追数学的真理，人类靠血肉之躯和有限的大脑，走了将近两百年，一路走得相当悲壮。

现在，人类身边多了新的合作伙伴，一起去探知识疆域里的星辰大海。

参考资料：

https://x.com/KenOno691/status/2115090084861247680 

https://axiommath.ai/research/the-enormous-theorem-formalized/